中国科学院系统科学研究所

非交换多项式优化在量子信息中的应用

发布时间：2025-02-27 | 来源：数学机械化重点实验室

量子信息学是当今最前沿的科学研究领域之一，为科学技术的发展带来了巨大的变革，也是“十四五”规划中重点关注的领域之一。一直以来，物理和实验研究在量子信息学中占据主导地位，数学和计算方法在量子信息学中的应用尚处于探索扩张的早期阶段，发展空间巨大。我们深入探索了非交换多项式优化在量子信息中的应用，取得了以下成果：基于非交换多项式优化证明量子多体系统的基态性质和态多项式优化的理论、算法和应用。

1.基于非交换多项式优化证明量子多体系统的基态性质

量子物理中的一个挑战性问题是理解多体系统的基态性质。传统的变分法及其变体是目前量子多体系统基态计算的主流方法，其不足在于：

（1）计算结果严格意义上只是基态的近似估计，正确性缺乏理论保证；

（2）主要适用于低维系统，在二维或更高维系统中，计算过程复杂且效率变得低下；

（3）对于费米子系统及含有阻挫的系统，量子蒙特卡洛通常面临“负符号问题”，导致数值不稳定或精度低。另一方面，基于非交换多项式优化的半定松弛方法可以给出基态能量的下界，但只能处理小规模系统。

我们首次将半定松弛方法与经典变分法巧妙地结合在一起，发展了可提供量子多体系统基态上任意可观测量（比如任意阶的相关函数、结构因子、序参量等）严格上下界的非交换多项式优化模型和相应的结构化半定松弛方法。理论上，该数值方法能够以任意精度逼近物理量的真实值。通过充分利用模型的稀疏性和对称性，我们极大地降低了半定松弛问题的规模，显著提高了该方法的可扩展性和实用性。我们在一维和二维自旋-1/2（J1-J2）海森堡模型上（粒子数最多达100）对该方法进行了广泛的测试，验证了其有效性。此成果发表于物理学顶刊《Physical Review X》，审稿人评价“该数值方法的发展是对多体问题研究的重大贡献”。该数值方法具有广泛的应用潜力，不仅能够用于验证量子模拟器的输出结果，确保其准确性，还将促进对于复杂量子系统相及相变过程的研究，为量子物理领域的深入探索提供有力的支持。

2.态多项式优化的理论、算法和应用态

多项式是非交换多项式的进一步推广（除算子以外，可包含算子的期望值作为多项式的变量），在量子信息学中具有强大的建模能力和广泛的应用价值。我们利用非交换代数、实代数几何、算子理论等数学工具首次研究并建立了态多项式的正性理论（证明了类希尔伯特第十七问题的非负表示定理和类Putinar的正零点定理）。在此基础上，我们对态多项式优化问题建立了完整的半定松弛分层，给出了全局最优性条件和提取全局最优解的算法。贝尔不等式的最大量子违背值可以反映量子系统远离经典的程度，对于研究量子非局域性和量子通信方案设计均具有重要的意义。基于态多项式优化，我们给出了计算非线性贝尔不等式最大量子违背值的首个完整算法。此成果发表于优化顶刊《Mathematical Programming》，随即被Morán和Huber用于计算量子不确定关系（已发表于物理学顶刊《Physical Review Letters》）、被Munné、Nemec和Huber用于研究量子码的存在性、被Laurens用于研究量子因果相容性问题。