Grassmannian上的计算问题----系统科学研究所

Grassmannian上的计算问题

发布时间：2026-03-19 | 来源：数学机械化重点实验室

作为线性子空间的参数空间，Grassmannian在理论研究和实际应用中均占据核心地位。传统研究中，它通常被视作射影簇或齐性空间。这一视角虽然发展出了优美且完备的理论体系，却给数值计算带来了高复杂度和等价类判别等难题。为此，我们将实Grassmannian嵌入到对称矩阵空间，从代数几何，微分几何和计算复杂度三方面系统研究了实Grassmannian上的计算问题。我们的嵌入为Grassmannian提供了新的计算模型，回答了Edelman等人1998年提出的问题。此外，我们还研究了Grassmannian上的切片秩函数在域扩张下的稳定性。具体研究内容包括：

1）实Grassmannian作为仿射代数簇的次数：针对任意实Grassmannian，我们得到了次数的组合表达式。该公式的特殊情形解决了Devrientdt，Friedman，Reinke和Sturmfels提出的次数公式猜想。

2）实Grassmannian作为嵌入子流形的曲率：我们计算了实Grassmannian作为对称矩阵空间子流形的曲率，得到了所有曲率的显式矩阵公式。借助这一嵌入，我们还大幅改进了Wong关于实Grassmannian中测地2维球的结果。

3）实Grassmannian的欧氏距离次数（Euclidean Distance degree，EDD）：我们计算了对称矩阵空间中欧氏距离函数在实Grassmannian上的稳定点，确定了实Grassmannian的EDD。

4）实Grassmannian上二次优化问题的计算复杂度：我们证明了实Grassmannian上的无约束二次优化问题不存在完全多项式时间近似方案（FPTAS），进而推导出该问题是NP-难的。

5）Grassmannian上的切片秩（slice rank）函数：我们建立了切片秩函数在域扩张下的稳定性，从而解决了Adiprasito，Ziegler和Kazhdan的稳定性猜想。