1958年著名数学家Rudolf Kalman提出自校正调节器设想。1973年IEEE最高奖得主瑞典皇家科学院院士Karl Johan Astrom研究了基于最小二乘自校正调节器的收敛性，此论文很大程度上复兴了七十年代的自适应控制领域，引发广泛重视，并遗留下自校正调节器稳定性和最优性的公开问题。该问题在九十年代被彻底解决。

最小二乘自校正调节器原始问题研究的是线性回归模型，但对于更一般的非线性不确定系统，它是否仍具有稳定性与最优性？郭雷院士发现对离散时间单参数随机系统其可镇定的非线性临界值是4。而多参数随机系统可镇定的临界条件却在很长一段时间里未能被建立起。我们近期工作证明该临界条件被一个多项式判据所刻画，此多项式由系统的非线性程度完全决定。当多参数系统非线性超过多项式判据范围，基于最小二乘的自校正调节器可镇定系统，并满足最优性与对数律。反之，任何反馈控制器皆不可能镇定系统。

当未知参数个数趋于无穷时，多项式判据导致可镇定的临界非线性逼近线性。这是否暗示离散时间控制的一个困境：反馈机制的最大能力在未知参数数量巨大时只能处理近似线性的非线性？

我们最近的工作发现，与直觉相悖，离散时间反馈控制器其实可镇定高达指数增长的非线性振荡系统，而非线性处于低增长的集合分布可相当稀疏，即下密度不为零即可。此时最小二乘自校正调节器具稳定性与最优性。当低非线性增长集合分布密度以重对数律速度趋于零时，则任何反馈控制器皆无法镇定系统。

与本成果相关的论文：

[1] Chanying Li and James Lam, “Stabilization of discrete-time nonlinear uncertain systems by feedback based on LS algorithm,” SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 51, no. 2, pp. 1128-1151, 2013.

[2] Zhaobo Liu and Chanying Li, “Is it possible to stabilize discrete-time parameterized uncertain systems growing exponentially fast?”, Arxiv: 1810.08128 (18 Oct, 2018)

李婵颖          cyli@amss.ac.cn