幂级数，随处可见，在复分析、组合理论、代数几何等领域扮演着重要角色。在复分析中，多变元幂级数收敛域的几何结构开启了多复变研究的序幕。在组合理论中，序列的生成函数就是幂级数，其算术与代数性质可以揭示序列的内在结构。在代数几何中，幂级数被用于理解代数簇在奇点处的几何结构。幂级数的算术理论始于Fatou，Eisenstein，Polya，Szego等人的工作，其中最著名的定理是Szego定理与Polya-Carlson定理。但是，这些经典的结果局限于单变元情形。从2016年开始，陈绍示与加拿大滑铁卢大学Jason Bell教授开展了关于多变元幂级数的算术理论研究，并主要关注多变元微分有限幂级数的有理性问题。

微分有限幂级数是一类满足线性微分方程的特殊函数，在经典分析，计数组合学，交换代数，代数数论中有广泛的应用。这方面一个重要而经典的问题是微分有限幂级数满足什么条件是有理函数在原点处的泰勒展开，即有理性问题。2017年，陈绍示与Jason Bell证明了系数取自有限集合的多变元微分有限幂级数必然是有理函数的泰勒展开。该结果是多变元Szego型定理，将1996年van der Poorten与Shparlinski的有理性定理从单变元推广到了多变元。进一步，他们利用代数方法得到了多变元整系数微分有限幂级数的有理性定理，该结果是多变元Polya-Carlson型定理。在其博士论文中，虞天龙利用多复变中解析延拓理论给出了该有理性定理的一个复分析证明。加拿大组合学家M. Mishra教授在其最近的专著《Analytic Combinatorics: A Multidimensional Approach》中专门介绍了这些工作。

2020年，陈绍示与合作者研究了系数取自有限生成群的幂级数的有理性问题。代数动力系统理论主要研究代数簇上的有理映射的迭代性质及其轨道分类。该理论的核心问题是Dynamical Mordell-Lang猜想，这是经典算术几何中Mordell-Lang猜想的动力系统版本。陈绍示与合作者首先研究了由代数动力系统所定义的一类取值在有限生成群上的序列的结构，以此证明了微分有限幂级数的系数零化的指标集一定为有限条等差数列与一个Banach密度为零的集合的并集。进一步，利用结构定理从代数动力系统角度证明了Bezivin定理：系数取自有限生成群的微分有限幂级数必然是有理函数在原点处的泰勒展开。这个新的证明为进一步研究多变元微分有限幂级数的有理性问题提供了思路。

相关论文：

[1] Jason P. Bell, Shaoshi Chen, and Ehsaan Hossain. Rational Dynamical Systems, S-units, and D-finite Power Series. Algebra and Number Theory, 15(7): 1699–1728, 2021.

[2] Jason P. Bell, Shaoshi Chen. Power Series with Coefficients from a Finite Set. Journal of Combinatorial Theory, Series A., 151: pp. 241–253, 2017.

 陈邵示          schen@amss.ac.cn